Scientific History 第8篇 — 等待河水归来的人们 — 尼罗河与埃及的计算

1. 封存的书信

1921至1922年的发掘季，尼罗河西岸的代尔巴哈里（Deir el-Bahri）。

大都会艺术博物馆的考古队正在探查一个名叫梅塞赫（Meseh）的人的墓室深处。昏暗的墓穴里，一捆捆泛黄的纸草显露出来。其中有些仍叠得整整齐齐，系着绳子，连泥封都完整地保存着。那是四千年前某个人悉心写下、打算寄回家中，却始终没有送到收信人手里的信。¹

图1. 赫卡纳赫特的第一封信。约公元前1961—1917年，大都会艺术博物馆藏，编号22.3.516。照片呈现了当年折叠的书信在今天展开后留下的字迹。

The Metropolitan Museum of Art · CC0 · 原件与来源

寄信人名叫赫卡纳赫特（Heqanakht）。他既不是法老，也不是统兵的将军。他是一位祭司，负责主持底比斯一位已故权贵的祭祀，同时也是一名管理人，一丝不苟地照管维系这些祭祀的土地和谷物。远离家乡的他，给留在故乡的家人写下了长长的指示。

上一年，尼罗河的泛滥不足。²

河水未能充分浸润的干旱田地，交出的粮食也少了许多。好不容易收完这一季庄稼，可要熬到下一次收获，眼前漫长的日子似乎远远超过仓中存粮所能支撑的时间。赫卡纳赫特的芦苇笔一刻也不能停。该派谁去租更多的地？该拨给这个跑腿的人多少粮食？留在家中的亲属又必须遵守哪些规矩？黑色墨迹从右向左密密写满一张纸草，其中有这样一句急切的叮嘱。

“务必保管好我的大麦种子。”³

对于一个饥饿逼近的家庭，种子袋是最致命的诱惑。此刻抓上一把磨成粉，就能稍稍缓解今晚难忍的饥饿。然而，那一把粮食也是来年重新耕作田地的生命份额。同一个仓库、同一个袋子里的大麦，每一粒却背负着截然不同的时间。今天入口的食物、付给工人的报酬、租用土地的代价，还有绝不可动用的、属于下一个季节的那一份。

第7篇中，我们目睹了汉谟拉比的巴比伦走向崩塌的轨迹。现在把时钟稍稍拨回，将目光转向西方的另一条大河。这时，乌尔最后一位国王退出历史舞台才过了半个多世纪。当底格里斯河与幼发拉底河畔的书吏在泥板上计算大麦时，尼罗河边的一位祭司，正为了守住种子袋，将泥封按在叠好、系紧的书信上。

一提到埃及的计算，人们往往首先想到高耸入云的金字塔。但在这个故事里，通往文明计算世界的路，始于这一小袋种子。那封封存在幽暗墓穴中、沉睡了四千年的信，究竟如何重新与今天的世界相遇，容我们在这段旅程的尾声再讲。

2. 两片土地的王冠

在赫卡纳赫特拿起芦苇笔的一千多年以前，还是这条河畔。

一位君主粗暴地揪住敌人的头发，高高举起石制权杖。他名叫纳尔迈（Narmer）。这是约公元前3100年制作的一块礼仪用石板，也就是“纳尔迈调色板”上刻下的凛冽场景。石板一面，他戴着南方上埃及的白冠；翻到另一面，同一位国王又戴上北方下埃及的红冠，昂然走过被斩首的敌人的尸体。⁴

两顶王冠，一个王权。这一场景凝聚着统治者宣示对两片土地统治权的威严。

图2. 纳尔迈调色板上的击杀场景。约公元前3100年。国王戴着上埃及的白冠。

Gary Todd · CC0 · 原件与来源

图3. 同一块调色板的另一面。上方队列中的国王戴着下埃及的红冠。两幅照片都是对展出文物的现代摄影。

Gary Todd · CC0 · 原件与来源

在埃及，划分“上”与“下”的依据不是地图，而是河水的流向。尼罗河发源于南方，向北流入地中海。因此，位于上游的南方是上埃及，下游肥沃的三角洲则是下埃及。狭长的河谷与扇形铺展的广阔湿地，虽共享一条母亲河，地貌和生活的纹理却明显不同。

这片干燥土地上的农民所盼望的甘霖，并不只是在自己头顶落下的雨。几千公里以南，遥远的埃塞俄比亚高原一带降下猛烈的夏雨，浩荡的河水便随之上涨，劈开北方的沙漠涌来。河水浸透干涸的平原，再慢慢退去，把黝黑肥沃的沉积土留在大地上。这正是埃及人将家园称作“凯麦特”（Kemet，黑土地）的缘由。那是河流伴着泛滥，一次次铺下的沃土的颜色。

然而，河流并非年年都以同样宽厚的面孔归来。水位过低，河水够不到的田野便在烈日下干裂，饥荒随之而至；水势过猛，堤坝和村落也会遭到洪流的侵袭。每年如期归来，与泛滥的高度是否适合人类生存，是两个全然不同的问题。⁵

河流既是滋养大地的命脉，也是把南北两片土地连为一体的最重要运输通道。上游的谷物与采石场的巨石装上驳船，顺水而下。控制这条水路的力量，是君主试图统治两片土地的重要根基。纳尔迈调色板上，找不到和平分配河水的记录，只有被践踏的败者和炫耀胜利的君主。

王冠可以在图像中将两片土地合为一体。然而，每年在辽阔国土上征税，把谷物运进王室与神庙的仓库，却绝不是一件象征性的雕刻就能解决的事。那需要无数人的劳动、庞大的运输船队，更需要能够掌握物资流动的行政账簿。

3. 运石的船，烤面包的村落

公元前26世纪，胡夫王的统治渐入暮年。尼罗河东岸，图拉（Tura）采石场。

工头梅勒（Merer）率领的船队，正在把一块块洁白的优质石灰岩装入船中。这些石料将用来铺砌金字塔耀眼的外壁。载石的船停泊在舍胡夫过夜，天亮后便调转船头，驶向名为“胡夫的地平线”的阿赫特胡夫。即使抵达目的地、卸下石头，运输也没有结束。他们还得返回图拉，运来下一批石料。就这样往返于采石场与工地之间，船停在哪里、哪一天启航，逐行积累在梅勒的日志中。⁶

2013年，考古人员在红海沿岸的古港瓦迪杰尔夫（Wadi al-Jarf）储藏坑道入口，发现了这份珍贵的纸草日志，当时它已散成无数碎片。⁷ 上面并没有写下现代人如此渴望得知的、金字塔建造技术的神秘诀窍。梅勒留下的，是脚踏实地得多、也现实得多的记录：今天工队在哪里装石，移到何处下锚，又在哪里过夜。当法老巨大的陵墓向天空升起时，一名现场主管正以数字记录船只的位置，以及工人们辛劳的每一天。

这项惊人的宏大工程，并非靠一次英雄式冲锋完成。它是无数次往返与精密的运输计算累积而成的。

图4. 今天吉萨的胡夫大金字塔。梅勒运送的优质石灰岩用于外部包覆。照片展示的是现今外观，并非当年运输或建造现场的复原图。

Nina Aldin Thune · CC BY-SA 3.0 · 原件与来源

在胡夫之后诸王的工地上，让搬石头的双手得到食物，与搬运石头本身同样重要。吉萨金字塔群南侧留存的海特古拉布（Heit el-Ghurab），把我们的目光引向了被巨石遮住的第二处现场。循着泥砖墙间显露的粮仓、烘焙设施、炉灶与宿舍，那些在金字塔升起时、必须在塔下吃饭生活的人，逐渐恢复了面貌。这里尤其是支撑哈夫拉和孟卡拉时代建设的后勤据点。⁸

用凿子劈开巨石的石匠需要吃饭，划动沉重船桨的水手也得填饱肚子。甚至要让为他们守在炉灶前烤面包的人分到粮食，一天的工作才能延续。把一块面包交到一个人手上，看起来并不复杂。但要在漫长的建设期间持续供养许多人，就不能只看今天从仓库拨出的粮食，还得算到尚未到达的下一批补给。如果剩余库存与下一艘船到达的日子之间出现空档，等待面包的双手便会先于搬运石头的双手停下来。只顾仰望金字塔高度的人，看不见的计算就在这里。数粮、分粮使人度过今天，估量余粮则为等到下一次补给争取时间。在这样的现场，计算不可能只留在账簿里。

不过，如此强大的中央控制体系也无法永存。随着古王国统治力渐渐衰退，各地领主纷纷自谋出路、割据而立，统一的两片土地再次撕裂。歉收与气候变化又加深了混乱。⁹

重新整合分裂国土的，是崛起于南方底比斯的孟图霍特普二世。那正是第6篇中与美索不达米亚乌尔第三王朝的剧变并置讲述的、中王国重新统一的时刻。此时，吉萨高原上的巨大金字塔，早已成为几百年前的遥远往事。

埃及由此进入名为中王国的新转折期。而在这个王国的一隅，祭司赫卡纳赫特面对不足的收成，拿起了笔。

4. 每个名字，不同的份额

赫卡纳赫特的第二封信里，出现了一份写着具体人名的名单。

家中成员的名字被逐一列出，每个名字旁边，都详写着一个月可以领取的谷物数量。而这些数字，相比从前已经被严厉削减。身为家长的赫卡纳赫特，强行压缩了家人的配给。¹⁰

图5. 赫卡纳赫特的第二封信。约公元前1961—1917年，大都会艺术博物馆藏，编号22.3.517。文书同时记载了家庭成员的配给名单及有关妻子待遇的指示。

The Metropolitan Museum of Art · CC0 · 原件与来源

留在家中的亲属似乎有不少怨言与不满。赫卡纳赫特的回应却冷得刺骨。他尖锐地斥责他们，大意是：遍地的人都在饥饿中倒下，你们却还没有挨饿。¹¹

收成少了，要吃饭的嘴并不会随之减少。明早袭来的腹中之痛，也不会自行减轻。少下来的粮食，要从谁的份额里扣去多少？当名单上写下一个名字，再在旁边填入配给数字时，泛滥不足造成的歉收之苦，便被分摊成轻重不同的生存危机。歉收降临到整个家庭，承担的份额却从不平等。

信里并非只有枯燥的粮食计算。赫卡纳赫特听说家中人冷落、欺负自己的妻子，勃然大怒，严令他们立即停止对她的无礼。削减配给的冷酷命令，与家长维护妻子的激烈情感，全都落在同一张纸草上。冰冷的配给账簿、人情的愤怒与家庭的矛盾，在现实中根本无法分开，这封信将它们原样呈现出来。

远在他乡的家长，无法亲眼看见家里的情景。他可以用文字传达命令，却不能连同那些拿到短缺口粮的人心中的苦楚一起控制。让总数准确相合，与让所有成员接受这种残酷的分配，是两件完全不同的事。

即便如此，赫卡纳赫特也没有在危机面前一味退缩。他一面紧缩开支，一面寻找新的出路。他打算继续打听、租入有望得到河水灌溉的土地，又催促家人务必收回过去借给别人的粮食。在同一封信里，他既竭力支撑着眼前的荒年，也在积极谋划来年的农事。¹²

对他而言，土地面积绝不只是一个几何数值。只有准确知道面积，才能反推播种所需的种子数量，估量所需劳力，推算缴纳地租后仓中还能留下多少粮食。但即使把面积算得分毫不差，河水也不会因此自动流进田垄。账簿上整整齐齐的预期收成，要变成粮仓中实实在在的大麦，仍须经过辛劳的耕作，以及“尼罗河泛滥”这个庞大而不受控制的变量。

为了衡量这段充满不确定性的时间间隔，埃及人不仅为土地，也为时间的流逝刻上了精细的标尺。

5. 三个季节与365天

中王国后期，拉洪（Lahun），通向广阔法尤姆绿洲的门户城市。它坐落在塞努斯雷特二世的金字塔旁。¹³

一名官署书吏在行政报告开头写下日期：“在位第一年，夏季第三月，第二十日。”下面依次列出官员出行的记录，以及清点田间物资的记录。当别处的官员接过这份文书，就能在同一套历法上找到那一天，了解河畔当时发生了什么。¹⁴

图6. 拉洪的塞努斯雷特二世金字塔遗址。这座中王国第十二王朝遗迹，展现了拉洪文书发现地区的背景，并非文中行政纸草文书本身的照片。

Einsamer Schütze · CC BY-SA 3.0 · 原件与来源

古埃及的一年，由河水决定的三个季节循环而成。河水上涨、覆盖大地的泛滥季“阿赫特”（Akhet）；洪水退去，肥沃土壤上萌发生机的播种季“佩雷特”（Peret）；以及在灼热烈日下收获谷物的收获季“舍穆”（Shemu）。泛滥、播种、收获。每季恰好分为四个月，每个月一律三十天。十二个月组成360天，再在一年末尾添上五天。¹⁵

恰好365天。

图7. 埃及民用历的构成。三个季节各120天，再加五天。这是依据正文绘制的现代说明图，并未将季节名称固定对应到现代某个月份。

EXA 制作 · 依据：正文注释 calendar·seked

河流每年在不固定的日期，以不固定的水位漫出河岸。但沿河办理行政事务的书吏，始终可以用相同的顺序和数字计算时间。借出谷物的日期与收回的期限、劳役开始与结束的日子，都能在同一套客观的历法上排定。赫卡纳赫特面对仓中不断减少的粮食、焦虑地等待“下一次收获”的那种茫茫无着的时间恐惧，在书吏笔下也能被分解成几个月、几天这样可计算、可安排的数字。

然而，这套看似如此整齐的历法里，潜藏着微小却不断累积的偏差。太阳与季节真正完成一次循环，除了365天，还需要约四分之一天，也就是6小时的零头。埃及的民用历没有设置闰年来补足这四分之一天。于是，每过四年，日历就比实际季节的运行抢先一天。几年之间看似只有细微差别，过了120年，日历与季节便会错开约一个月。

这就会出现一种奇异的景象：历法上的日期明明已进入意为泛滥季的“阿赫特”，田野里却仍然干燥得尘土飞扬。

季节名称来自尼罗河数千年刻下的自然节律。但固定为365天的历法逐渐偏离实际季节，而河水上涨的时机与高度，本身也年年不同。因此，人为历法提供的计时秩序，与每日察看实际水位的敏锐感知，缺一不可。书吏精确的历法，可以将相距遥远的人们的行政事务联结起来，却不能随意控制这条自然大河的变化无常。

正如为土地赋予数字、记入账簿，并不能让河水照着数字流淌，尼罗河居民对人类尺度的边界，有着格外深切的体会。

6. 希腊人听来的故事

尼罗河年年泛滥，抹去了田地的边界。洪水退去，农民不得不在泥泞中重新丈量消失的界线。漫长而辛苦的测量反复进行，终于催生了“几何学（Geometry）”。

直到今天，许多数学教材与通俗历史书仍喜欢在开篇讲述这个迷人的故事。它直观、合理，又容易记住。然而，沿着这一著名起源说追溯下去，遇到的并非埃及人的记录，而是一位异乡希腊人的声音。

那是约公元前5世纪游历埃及的“历史之父”，希罗多德（Herodotus）。

他从当地祭司那里听来、记入《历史》的原始版本，与我们熟悉的浪漫叙事颇不相同。传说中的法老塞索斯特里斯，将大小相等的方形土地分给所有百姓，并逐年征收土地税。倘若汹涌的河水冲走了某位农民田地的一角，他便可以向国王申诉。国王派测量员到现场，精确测量减少的面积，再相应减轻税负。希罗多德在此补充了自己的看法：也许正是这种需要催生了几何学，随后它又传入希腊。¹⁶

这段文字里，没有河流每年把所有田界一笔抹去的戏剧性叙述。有的只是一个百姓因水灾损失财产而提出的恳切申诉，以及核实申诉、据以减税的合理行政测量。即便如此，它也不是古埃及人亲自留下的一手记录，而是赫卡纳赫特生活的时代过去约1,500年后，一位外国旅行者听闻、推论而成的起源解释。

那么，身为真正当事人的埃及人，究竟留下了什么记录？让我们从希罗多德所处的年代出发，一步步逆着历史的河流向上游走去。

先来到公元前14世纪，新王国第十八王朝的首都底比斯。高官门纳（Menna）墓中绚丽的壁画上，官员拉紧打结的测量绳，丈量渐渐金黄的麦田。紧挨着他们，书吏仔细将收获量记入账簿，工人用量器称量谷物，堆成小山。门纳负责监管法老与阿蒙神庙的大量土地。一根绷紧的绳子、一行写在纸草上的数字，便成为确定征收粮食份额的依据。在这里，几何测量与决定王室、神庙征收份额的权力相伴而行。丈量田地的人，手中握着的不仅是记数工具，还有向他人收成索取份额的力量。¹⁷

图8. Charles K. Wilkinson于20世纪临摹的门纳墓农业场景。原壁画属于新王国第十八王朝，约公元前1396—1347年，晚于赫卡纳赫特的时代。上方可见田地测量，下方为谷物计量与书吏。这并非原壁画的直接摄影。大都会艺术博物馆藏，编号30.4.44。

The Metropolitan Museum of Art; Charles K. Wilkinson · CC0 · 原件与来源

再往前追溯五百年，来到中王国的拉洪。与记录谷物出入、工人人数及土地事务的文书一起出土的，还有写着数学解答的纸草残片。上面记有分解为单位分数的换算表，也密密写着逐步解开难题的计算过程。真实行政现场的账簿，与训练未来书吏的数学教材，就这样并列存在于同一座城市的生活之中。¹⁸

在更深一层的时间之下，则是赫卡纳赫特削减家人配给、为此苦心筹划的书信。

希罗多德笔下的测量，是承认受灾农民的损失、减轻税负的救济行政。门纳墓壁画中的测量，却与丈量、监督国家和神庙向农民征收份额的权力相连。同样的绳结，同样的面积算法，时而是保护百姓的盾牌，时而成为要求百姓承担负担的工具。赫卡纳赫特书信里的冷冰冰的数字也一样：它既是在荒年中为来年耕种筹划的周密经营语言，也是毫不留情地削减家人口粮的控制工具。

7. 同一时期的东方

公元前1900年前后及其后的岁月，距离尼罗河数千公里之外，印度河流域的大城市哈拉帕（Harappa）。

笔直的烧砖道路横贯宏大的城市，却已不再有盛时那样密集的人潮。考古人员用细筛滤洗渐入暮年的城市遗址土样，筛出了细微、不易察觉的炭化谷粒。这些小小种子，正在讲述文明深处的变化。在城市繁荣时期的地层中，小麦占有较高比例；越是进入城市活力衰退的晚期地层，土壤中耐贫瘠的大麦所占比例便重新上升。¹⁹

图9. 今天的哈拉帕遗址。这张现代照片展示了城市砖砌建筑的遗迹。正文所述作物结构变化依据植物考古资料，而非直接从照片辨读谷物种类或其变化。

Hassan Nasir · CC BY-SA 3.0 · 原件与来源

从小麦占优势的田野，转向大麦比例再度上升的田野。再将目光移向南方古吉拉特的村落，又能看见粟黍类作物（millet）占据重要地位的另一种农业景象。各地雨季与雨量不同，城市和村落要供养的人口规模也不一样。为数万人城市填满粮仓的田野，与在不稳定气候中支撑小村落一年生计的田野，没有理由总是选择同样的作物。一条路是在气候稳定时争取一次大丰收，另一条路则像分散投资，即使天气无常，也尽力避免挨饿。印度河农民正随着土壤和降雨的变化，有策略地重组作物搭配。

就在尼罗河边一位祭司为守住仓中的种用大麦而按下泥封的那个时代，几千公里以东的另一条河畔，与全然不同的气候搏斗的农民，也在竭力挑选下一季播入田中的种子。两个文明留在河岸上的考古遗物形态迥异。但今天的播种选择，关系着来年一家人与整个共同体的生死——这个令人心头一紧的问题，以同样沉重的分量，压在两条大河滋养的人们身上。

8. 在另一位国王的名下

希克索斯法老阿波菲斯（Apophis）在位第33年。

一名叫阿赫摩斯（Ahmose）的书吏拿起芦苇笔，开始小心抄写前代的数学文书。这就是今天收藏于大英博物馆、被称为《莱因德数学纸草书》（Rhind Mathematical Papyrus）的重要卷轴。阿赫摩斯在序言中明确写道，这些伟大的数学知识，抄自几百年前中王国第十二王朝的文书。赫卡纳赫特曾为家人生计忧心的那个繁盛旧王朝，其知识遗产正在源自西亚的希克索斯王朝纪年之下，重新获得生命。²⁰

图10. Chace版本中整理莱因德数学纸草书正反面题目布局的图版。由MinnesotanUser拍摄出版图版，并非纸草原件的彩色照片。

MinnesotanUser · CC BY-SA 4.0 · 原件与来源

在这期间，埃及大地再次四分五裂。中王国的荣光渐逝，一支新的统治力量，从已在三角洲定居数代的西亚裔居民中崛起，以阿瓦里斯（Avaris）为据点建立王朝。他们被称为“希克索斯”（Hyksos），这个名称源自意为“外国土地的统治者”的埃及语。与此同时，南方上埃及的古都底比斯，本土埃及诸王正蛰伏着磨砺刀锋。文明南北分裂、紧张对峙的这一时代，史称“第二中间期”。²¹

阿波菲斯正是这个异族希克索斯王朝的君主。敌对双方在尼罗河南北相互逼视，局势一触即发；而一名书吏，却在这个危机四伏的时代，一字一字地抄录分数除法、梯形面积与圆柱形粮仓体积的古老数学题。

法老的家族变了，统治族群的血缘也变了。但计算洪水冲刷后田地的面积、为人们分配谷物，依旧不可或缺。文书开头的纪年写着新王朝君主的名字，下面展开的计算步骤里，却仍呼吸着几百年前辉煌旧王朝书吏的气息。

阿赫摩斯抄写的问题，绝不是闲适象牙塔中的思辨游戏。圆形粮仓能装下多少大麦？一定数量的面包，该如何按规定比例分给多人？倾斜田地的面积该如何测量？雄伟的金字塔，怎样保持一致的坡度向上砌筑？解答里并非只有一个机械的正确答案。先求哪个数，再经过哪些步骤到达结果，一整套推导答案的逻辑过程，都被细致地说明。这是一本精心设计的实务教材，好让未来翻开文书的年轻书吏沿着同一路径，自己找到新问题的答案。²²

面对分配面包与谷物的问题，读赫卡纳赫特配给名单时遇到的疑问又回来了：如果待分数量不能恰好被人数整除，怎么办？不足完整一份的量也要记下来，分配者与领取者才能计算同一份额。埃及书吏广泛使用二分之一、三分之一这样分子为1的单位分数，来表示这些数量。莱因德纸草书的开头，就有一张处理2除以奇数所得数值的表。它把复杂的份额分解为若干单位分数之和，供后续分数计算取用。拉洪出土的更早表格残片中，也保留着相同的分解方式。即使王朝更替，后一代书吏仍可沿用前人留下的算法，接续计算。²³

按大英博物馆的断代，这份纸草抄本大约制作于公元前1550年。距离第7篇中巴比伦的汉谟拉比王朝遭赫梯重击而崩塌，尚不足半个世纪。²⁴ 当幼发拉底河畔的巴比伦王朝倾覆时，尼罗河边的旧日数学智慧，却在新王朝之下被默默抄写，延续着生命。

埃及的分裂也没有永久持续。崛起于南方底比斯的年轻法老阿赫摩斯一世，终于将希克索斯势力彻底逐出三角洲，再次统一两片土地。这是埃及重归强盛的“新王国”的开端。巧合的是，这位君主的名字，与那位默默抄录旧王朝数学教材的书吏阿赫摩斯，一字不差。

持剑征服者的历史，被写作王朝的兴衰。但支撑世间生活的实用计算之史，却沿着书吏磨损的笔尖绵延流淌：他们在战乱的漩涡中抄写旧题，将知识递往下一个时代。

9. 在纸草上重建金字塔

再回到阿波菲斯纪年下抄成的莱因德数学纸草书，一座金字塔立在第56题里。

这座巨大的金字塔，底面一边长360腕尺，高250腕尺。它的坡度是多少？²⁵

此时，吉萨大金字塔向天空展现雄姿，已近千年。摆在书吏眼前的不是巨大的石灰岩块，而是以墨汁整齐写在干燥纸草上的抽象数字。法老试图抵达天空的宏伟纪念碑，如今被重新建成一道教材里的几何题，供后世书吏学习计算原理。

但金字塔并非只是一段已经消逝的建筑记忆。这份文书追溯到的第十二王朝，诸王也在建造金字塔。继拉洪的塞努斯雷特二世之后，阿蒙涅姆赫特三世也在哈瓦拉留下了自己的金字塔。²⁶ 只知道高度，无法判断侧面有多陡。同样的高度，底面越宽，坡度就越缓。要比较大小不同的建筑物的倾斜程度，就需要一种同时衡量高度与水平后退距离的语言。

今天我们表示坡度，常用角度，以“度”（degree）为单位计量。但古埃及书吏提出问题的方式全然不同。

“每垂直升高1腕尺，水平方向需要后退多少掌宽（palm）？”

腕尺（cubit）这一单位源于肘部到指尖的长度。本题采用的王室腕尺，又分为7个以手掌宽度为基础的掌宽（palm）。古埃及人将每升高1腕尺时、以掌宽表示的水平后退距离，称为“塞凯德（seked）”。

底面一边长360腕尺，因此从底面中心到某个侧面底边的距离，恰好是一半，即180腕尺。从中轴线向外走180腕尺时，金字塔的顶点在垂直方向上高达250腕尺。用现代图形画出这道计算，相当于把这座巨大立体建筑的截面，缩成一个高1腕尺的相似三角形，再把底边长度换算为掌宽。用现代代数符号整理如下。

图11. 按莱因德第56题尺寸绘制的现代说明图。截面经过顶点、底面中心和两条相对边的中点。360腕尺与250腕尺是题目给定数值，并非胡夫大金字塔的实测尺寸。1腕尺等于7掌宽。

EXA 制作 · 依据：正文注释 calendar·seked

5又25分之1掌宽。

堆起巨大石山的宏伟建筑坡度，如今化作了清晰的比例数值，工匠用自己的掌宽便能测量、核验。

当然，古代纸草上不会写着今天这样整洁的等式。那里只有具体的步骤：将给定数字减半、乘以比例、换算单位。然而，只要掌握解答的顺序，书吏面对底边与高度完全不同的新金字塔问题，也能用同样的方法计算坡度。超越单纯记忆个别建筑尺寸的层次，掌握一套能够普遍用于未知建筑的计算框架。这才是古代教材试图传授给未来官吏的真正智识跃迁。

第7篇中，幼发拉底河畔的巴比伦书吏，沿着正方形的对角线，求得了惊人地接近其长度的近似值。尼罗河边的书吏，则把巨大石砌金字塔的斜面换算为自己的掌宽来处理。两个文明的数学家，并非在同一条线性进步的阶梯上争夺高下。他们立足于不同的河畔、不同的生计现场，为解决各自面前的现实难题，用独创的工具锤炼着计算的科学。

赫卡纳赫特削减家人配给的书信，与阿赫摩斯训练未来书吏的数学教材，乍看是两种全然不同的文字。一种是眼前荒年危机中，家长约束家人的急切命令；另一种则收录数与形的问题，为下一代官吏作准备。然而，把两份纸草并排放在一起，我们便看见“记录数字”在古代文明中承载的不同时间。一份账簿计算今天要分出的粮食，一本教材为下一代将面对的问题作准备。支撑眼前生活的计算，与能够长久流传的知识，就这样一同在书吏手中安顿下来。

当我们从分粮的手中遇见分数，从金字塔的侧面遇见比例，也可以回望序言中说明的连载宗旨。

EXA的Scientific History，正沿着世界史的长河，将数学、科学、工程、IT、经济与管理的历史编织在一起。我们希望理解，今天被划分为不同学科的知识，曾在怎样的时代与人群之间形成，又如何彼此影响，塑造了我们生活的世界。

正如船要靠岸，需要港口，陌生的知识要进入我们的理解，也需要能够接纳它的语境。在这个连载中，世界史就是那座港口。沿着当时人们的生活与选择走去，便会发现：公式背后有待解决的问题，技术背后有尝试与失败，制度背后有不同的利益关系。这样联结起来的知识，不再只是记忆中的条目，而会成为自己能够用来解读当今世界、独立作出判断的东西。EXA持续展开这段漫长旅程，原因也在于此：从文明史的根基出发，深入理解构成商业的技术与组织、市场及人的行为。

在正篇中纳入数学，并另设解说篇深入探讨，是实现这一宗旨的一步。正篇沿着世界史的脉络，寻找时代的问题与知识相遇之处；解说篇则进一步追索计算的原理和解题过程。我们希望同时理解，那个时代为何提出这些问题，以及答案为何成立。今后将遇见的科学、工程与管理知识，也会在这条漫长的历史中，与人的生活一同展开。

此刻，我们正走过世界史与数学史交汇的早期风景。

尾声：数字与生活之间的距离

一、计算再精确，也仍有必须决断的时刻

计算技法越精密，人就越容易受到诱惑，想把复杂的道德判断与责任的重量，也藏到数字背后。但即使把剩余粮食精确到每一粒，账簿上的数字也不能代为决定：饥饿的家人之中，该先削减谁的口粮？

为了来年播种，坚持守住种子袋的决断，对于今晚就要坐到饭桌前的家人而言，是迫使他们忍受痛苦饥饿的残酷选择。这份艰难求生的重量，该由谁的肩膀承担多少，最终仍是手握计算工具的人无法回避的决断与责任。也正因如此，赫卡纳赫特的一张纸草上，才会同时出现削减配给的名单，以及因妻子受辱而发出的激烈斥责。

二、同一套历法之下，河水的高度仍各不相同

由长期习惯与共识凝成的统一标准，具有将相距遥远的无数人的经济活动联结起来的强大文明力量。然而，体系的标准化力量越强，人们就越难察觉它开始与现实发生细微偏离的危险时刻。

埃及的365日历法，每过四年便与实际季节循环错开一天；即使日历上的季节名称已指向泛滥期，干燥的田野也可能依旧尘土飞扬。在遵循人类建立的熟悉制度秩序的同时，还要不断审视、留意制度之外自然与现实的细微变化。这种洞察，不仅是尼罗河书吏的课题，也是所有生活在“系统”这道人造城墙之中的现代人，至今仍须面对的长久课题。

三、知识通过再次使用它的人得以延续

采石场主管梅勒，每天记录满载巨石的驳船辛苦往返的路线。祭司赫卡纳赫特，在生存悬崖边写下需要分粮的家人名单。而书吏阿赫摩斯，则谨慎抄录早已衰亡的旧王朝的数学解法。三人执笔的实际动机截然不同，却都怀着同一种急切的希望：此刻不在自己眼前的某个人，能够读到这些文字，正确判断，继而行动。

一种政治权力长久占据历史舞台，与一种文明产生的计算知识跨越世代传承，是两个不同层次的问题。莱因德数学纸草书的序言，道出了这一关键事实。抄写之年的君主是希克索斯王朝的阿波菲斯，但纸草上复写的知识，却是遥远旧王朝书吏留下的遗产。

知识并非只靠那些把姓名刻在石头上、渴望永生的君主传下去。它更经由无名者磨损的手指活到下一代：这些人翻开它，为解决现实问题而一次次重新使用它。

赫卡纳赫特的书信，终究没有抵达他如此牵挂与忧心的家人怀中。信件存放在一座闲置的邻墓里，不久后，随着死者葬礼举行，墓室一同被封闭，书信也被困在了漆黑的深处。此后漫长的四千年间，没有人揭开那些泥封。

1944年，英国推理小说家阿加莎·克里斯蒂从这位古代祭司的书信中获得强烈灵感，发表了以古埃及为舞台的悬疑杰作《死亡终局》（Death Comes as the End）。尼罗河西岸，一户规矩森严的祭司家庭，围绕有限土地与份额暗中争斗的家人，以及从异乡寄来严厉训斥与指令的家长。那未能传到古埃及家人耳中的忧虑之声，跨越四千年的时间深渊，终于抵达全世界读者的心。²⁷

今天，这些纸草书信静静展开在纽约大都会艺术博物馆清冷的玻璃展柜中。四千年前，有人亲手将这些小小的记录叠好、系紧，再用粗粝的泥土封住。褪色的表面上，一个人急切的叮嘱仍以清晰的墨迹鲜活留存：为了下一个季节的生命，忍住眼前的饥饿，把大麦种子守到最后。

那是一个人的炽热呼吸。他曾如此迫切地等待，遥远南方埃塞俄比亚高原上的生命之河，能够再一次汹涌而来。

下一篇——循着埃及的计算方法

下一篇数学解说中，我们将亲自跟随尼罗河书吏留下的计算步骤。从用单位分数表示面包与谷物的份额开始，逐步理解田地面积与金字塔坡度的计算原理。我们也会算一算，包含三个季节的365日历法为何会渐渐偏离实际季节。将古代记录中的解法与今天的解释并置，看看他们学习了怎样的算法，又将它们如何传给后来的人。

注释与来源