침묵의 공장-증거는 어떻게 결정을 바꾸는가: 쇼트샷 사건 베이지안 실험실

사건이 끝났다고 생각한 순간, 나는 기록을 다시 펼쳤다.

오전의 증거는 온도를 가리켰다. 50개 중 5개가 불량이었다. 온도를 의심할 확률은 87.6%까지 올라갔다.

그러나 오후의 기록에는 50개 중 단 하나의 불량만 남아 있었다. 확신은 63.7%로 내려갔다.

숫자는 바뀌었다. 그렇다고 오전의 증거가 사라진 것은 아니었다.

“오후에도 불량이 다섯 개였다면, 나는 같은 판단을 했을까?”

나는 잠시, 다시 형사가 되기로 했다.

사건 기록을 다시 펼치다

1편 「침묵의 공장」에서는 온도와 압력이라는 두 용의자를 추적했다. 2편 수학 해설에서는 판단을 바꾼 계산을 확인했다.

이제 같은 사건의 조건을 직접 바꿔 본다. 아래 실험은 무작위로 정답을 뽑지 않는다. 입력한 증거가 두 가설을 얼마나 지지하는지 계산하고, 그 결과를 다음 판단의 출발점으로 삼는다.

이 실험에서 기억할 것은 세 가지다. 사전확률은 처음의 의심, 우도는 각 원인이 이번 결과를 얼마나 잘 설명하는지, 사후확률은 그 증거를 받아들인 뒤의 판단이다. 60%라는 원인 확률과 8%라는 불량 발생확률은 서로 다른 질문의 답이다.

먼저 아래의 기본 사건을 선택하고, 오전의 증거를 반영하기 전에 온도 확률이 어느 방향으로 움직일지 예상해 보자. 계산 뒤에는 함께 읽는 수사 노트에서 ‘우도 → 증거의 힘 → 판단 갱신’을 따라간다. 넓은 화면에서는 본문 옆에 노트가 머물고, 작은 화면에서는 실험 아래에서 이어 읽을 수 있다.

노트는 지금 단계에 필요한 이론과 숫자 대입을 함께 보여준다. 더 깊은 유도는 해당 단계에 연결된 2편의 절을 새 탭으로 열어 확인할 수 있다.

숫자를 직접 바꿔 실험해 보세요. 60·50·5·1은 시작값입니다. 사전확률·검사 수량·불량 개수 입력칸을 눌러 원하는 숫자로 바꾼 뒤 ‘증거 반영’을 누르세요. 질문 버튼은 예시를 불러올 뿐, 입력값을 제한하지 않습니다.

세 번의 질문으로 수사를 이어가다

오후에도 불량이 다섯 개였다면?

먼저 이야기 속 기본값으로 오전과 오후의 증거를 차례로 반영해 보자. 온도 원인의 확률은 60% → 87.6% → 63.7%로 움직인다.

실험 선택에서 1번 질문 · 오후에도 불량 5개를 누른다. 사전확률 60%와 오전 5/50은 그대로 두고, 오후의 불량 개수만 1개에서 5개로 바꾸는 실험이다. 오전과 같은 방향의 증거가 한 번 더 들어오면, 확신은 어떻게 달라지는가?

처음부터 압력을 더 의심했다면?

실험 선택에서 2번 질문 · 처음의 의심을 30%로를 누른다. 오전 5/50과 오후 1/50을 기준값으로 되돌린 뒤, 온도 원인의 사전확률만 60%에서 30%로 바꾸어 시작한다.

증거는 같지만 출발점은 다르다. 어떤 값이 달라지고, 어떤 값은 그대로인가? 함께 읽는 수사 노트를 따라가 보면, 같은 검사 결과의 베이즈 인자는 그대로이고 사전 오즈가 달라졌음을 확인할 수 있다.

불량이 하나도 나오지 않았다면?

실험 선택에서 3번 질문 · 오후 불량이 0개를 누른다. 사전확률은 60%, 오전은 5/50으로 시작하고 오후만 0/50으로 바꾼다.

불량이 없다는 사실도 증거다. 다만 여기서 계산하는 것은 이 사건에서 설정한 두 가설의 상대적인 가능성이다. 낮아진 불량률만으로 원인이 없어졌다고 단정하는 계산은 아니다.

실험 선택으로 돌아가기

다음 LOT의 기록을 이어받다

1편의 엔지니어는 “다음 Lot에서 샘플 50개만 더 뽑읍시다”라고 말했다. 두 번의 검사 뒤에는 다음 검사 기록 추가로 그 장면을 직접 이어갈 수 있다. 불량 개수는 미리 정해 두지 않았다. 새 기록을 넣고, 현재의 결론이 다음 판단의 출발점이 되는 것을 확인해 보자.

추가할 때마다 새로 관측한 표본만 넣는다. 이미 반영한 오전·오후 기록을 다시 넣으면 같은 증거를 두 번 사용하는 셈이다. 기록을 더 받았다고 매번 확신이 높아지는 것은 아니다. 개별 표본에 따라 오르내리며, 같은 원인과 발생확률이라는 가정 아래에서 누적해 판단한다.

나누어 계산해도, 함께 계산해도 같은가?

2편 9절에서 확인한 계산을 실험의 순차 계산과 한 번에 모은 계산 비교에서 직접 검산해 보자. 기본 사건에서는 50개씩 두 번 반영하든, 총 100개 중 불량 6개로 한 번에 계산하든 온도 확률은 약 **63.7%**다.

두 검산은 같은 출발점에서 각각 계산한 결과다. 합산한 100개를 이미 두 번 갱신한 판단에 추가하는 것이 아니다. 검사 조건이 유지되고 각 결과가 같은 원인 아래에서 독립일 때, 각 BF를 곱한 값은 전체 증거의 BF와 같아진다.

확신의 크기보다, 바뀐 이유를 읽다

확률 막대가 움직이는 것만으로 수사가 끝나지는 않는다.

어떤 증거가 들어왔는지, 그 증거가 어느 가설에 더 자연스러운지, 이전 판단에 무엇을 더했는지 설명할 수 있어야 한다. ‘함께 읽는 수사 노트’에서 각 입력값을 대입한 베이즈 인자와 오즈의 전개를 함께 확인해 보자.

이 실험은 온도와 압력 중 하나가 원인이고, 각 원인의 불량 발생확률이 각각 8%와 4%로 유지된다는 사건의 조건을 사용한다. 검사 사이에 설비 조건을 바꾸거나 다른 원인이 개입한다면, 먼저 그 변화를 설명하는 모델을 다시 세워야 한다.

오후 증거가 압력을 지지해도 누적 판단에서는 온도가 더 유력할 수 있다. 이번 증거가 가리키는 방향과 지금까지의 증거를 합친 판단은 같은 질문이 아니다. 오전까지 쌓인 판단 위에 새 증거를 반영했기 때문이다.

이제 자신의 말로 설명해 보자. “이번 증거는 무엇을 지지했는가? 이전 판단에서 무엇을 넘겨받았는가? 그래서 확률은 왜 바뀌었는가?” 원인 확률만으로 정비 여부를 자동 결정하지는 않는다. 추가 검사와 설비 정지의 비용, 불량 유출 위험까지 살피는 것이 그다음 판단이다.

기록을 덮기 전에 마지막으로 묻는다.

“나는 처음의 확신을 지키고 있는가, 아니면 새로운 증거를 받아들이고 있는가?”

• 1편 — 침묵의 공장: 진실을 조각하는 베이즈의 미학
• 2편 — 쇼트샷의 원인 확률: 베이즈 정리에서 오즈와 베이즈 인자까지